পৈসুঁবিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়

পৈসুঁবিন্যাসের গড় (Mean) এবং ভেদাঙ্ক (Variance) নির্ধারণের জন্য এর মূল সূত্র এবং গাণিতিক প্রত্যাশা \( E(X) \) ও ভেদাঙ্ক \( Var(X) \)-এর ধারণা ব্যবহার করা হয়।

গড় নির্ণয়

পৈসুঁবিন্যাসের গড়:

গড় বা গণিতগত প্রত্যাশা \( E(X) \) হলো প্রত্যাশিত ঘটনাগুলির গড় সংখ্যা। পৈসুঁবিন্যাসে এটি \( \lambda \)-এর সমান।

\[
E(X) = \lambda
\]

অর্থ:

\( \lambda \) হলো গড় হার, যা নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার গড় সংখ্যা নির্দেশ করে।

ভেদাঙ্ক নির্ণয়

পৈসুঁবিন্যাসের ভেদাঙ্ক:

ভেদাঙ্ক \( Var(X) \) হলো গড় থেকে মানগুলোর বিচ্যুতি। পৈসুঁবিন্যাসের ক্ষেত্রে ভেদাঙ্কও \( \lambda \)-এর সমান।

\[
Var(X) = \lambda
\]

অর্থ:

গড় হার \( \lambda \) যেটি গড় সংখ্যার মতো একই মান নির্ধারণ করে, তা একইসাথে ভেদাঙ্ক হিসেবেও কাজ করে।

প্রমাণ

পৈসুঁবিন্যাসের জন্য সম্ভাব্যতা ফাংশন:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

গড় নির্ণয়ের ধাপ:

\[
E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k)
\]

\[
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]

\( k! \)-এর পরিবর্তে \( (k-1)! \) দিয়ে সরলীকরণ করলে:
\[
E(X) = \lambda \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
\]

\( \sum_{k=1}^{\infty} \) কে \( e^{\lambda} \)-এর প্রসারণে পরিবর্তিত করলে:
\[
E(X) = \lambda
\]

ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের ধাপ:

ভেদাঙ্কের সূত্র:
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]

\( E(X^2) \) বের করতে \( k^2 \)-এর উপর ভিত্তি করে \( P(X = k) \)-এর গাণিতিক গুণফল ব্যবহার করা হয়। নির্ধারণ শেষে প্রমাণিত হয় যে:
\[
E(X^2) = \lambda + \lambda^2
\]

তাহলে:
\[
Var(X) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda^2 = \lambda
\]

উদাহরণ

প্রেক্ষাপট

ধরা যাক, একটি কফি শপে প্রতি ঘণ্টায় গড়ে \( \lambda = 4 \) জন গ্রাহক আসে।

গড়:

\[
E(X) = \lambda = 4
\]

ভেদাঙ্ক:

\[
Var(X) = \lambda = 4
\]

অর্থাৎ, প্রতি ঘণ্টায় গড় গ্রাহক সংখ্যা ৪, এবং এই গড় থেকে বিচ্যুতির মানও ৪।

গড় ও ভেদাঙ্কের সম্পর্ক

পৈসুঁবিন্যাসের ক্ষেত্রে:
\[
E(X) = Var(X) = \lambda
\]

এটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য যা পৈসুঁবিন্যাসকে অন্য অনেক বিন্যাস থেকে আলাদা করে।

সারসংক্ষেপ

• গড় (Mean): \( E(X) = \lambda \)।
• ভেদাঙ্ক (Variance): \( Var(X) = \lambda \)।
• পৈসুঁবিন্যাসে গড় ও ভেদাঙ্ক সমান এবং এটি গড় ঘটনার হার \( \lambda \)-এর উপর নির্ভরশীল।